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多様体論、接空間あたりの話がとても複雑で難しく感じる。

次元の滑らかな多様体のにおける接空間を定義して、と線形同型な写像を作って、実際に線形同型であることをを示し標準基底に対応した基底を具体的に書け

っていうのを空でやれと言われたら、多分出来ないなと思うけど、それってかなりヤバい気がする。
大体なんで

によって得られる接空間の基底を

と書かないんだろうか。基底がチャートによって取られるんだからこう書いた方が良いように思えるけど、こう書いてる文献は今の所一つも見た事がない。